6. Crecimiento o Decrecimiento

Si  f '(x) > 0   f(x) es creciente
Si  f '(x) < 0   f(x) es decreciente

7. Derivación Implícita.

1. Razón de Cambio

Marginales:

Razones de Cambio:

Un velero se dirige hacia el acantilado ¿Cómo están relacionadas las razones a las que cambian x, s y θ ?

1. Representar geométricamente el problema

   2. Encontrar la ecuación que involucre las variables: 

  3. Derivar respecto al tiempo:

Para ver la solución de este problema en Geogebra clic aquí

•  Tabla de relaciones:

2. Optimización

Con la optimización se hallan los máximos y mínimos.

Series y Sucesiones

Para ver la actividad 2805 clic aquí:
Actividad 2805

Demostraciones de los Teoremas de Euclides

 A continuación podemos ver la imágen de un ejercicio en Geogebra:

 

Para ver el archivo de las demostraciones en Excel, clic aquí
Para ver el archivo de las demostraciones en Geogebra, clic aquí

Biografía de Euclides

Euclides (365-275)  Uno de los más grandes matemáticos griegos. Fue el primero que estableció un método riguroso de demostración geométrica. La Geometría construida por Euclides se mantuvo incólume hasta el siglo XIX. La piedra angular de su geometría es el Postulado: "Por un punto exterior a una recta sólo puede trazarse una perpendicular a la misma y sólo una". El libro en que recoge sus investigaciones lo tituló "Elementos", es conocido en todos los ámbitos y ha sido traducido a varios idiomas.

A continuación un video de Euclides:

Teoremas de Euclides

Ver demostraciones en Geogebra aquí

El Punto

El punto no tiene dimensión ni medida. Se nombra con las letras mayúsculas del abecedario.

La Recta

Su dimensión es 1, esta formada por infinitos puntos en una misma dirección de longitud infinita. Se nombra con letras minúsculas del abecedario.

El plano

Tiene dos dimensiones, se extiende a lo largo y ancho infinitamente. Se nombra con las letras griegas ( α, β, γ,etc).

El Segmento

Es una parte de la recta comprendida entre dos puntos y los puntos que estan entre ellos. Se nombra como AB

La semirrecta

Es una porción de la recta que empieza en un punto y sigue infinitamente. Se nombra como     AB

El ángulo

Esta formado por dos semirectas con un punto inicial común.
Se nombra como:      CAB       BAC

Puntos Colineales

Son los puntos que estan sobre una misma recta.

Puntos Coplanales

Son todos los puntos que están sobre el mismo plano.

Geometría Euclidiana

Ver archivo acerca de todos los conceptos y axiomas euclidianos, aquí

Axioma 1

Una recta contiene al menos dos puntos distintos.

Axioma 2

Un plano contiene al menos tres puntos distintos.

Axioma 3

Un espacio contiene al menos cuatro puntos NO coplanales.

Axioma 4

Por dos puntos distintos pasa una única recta.

Axioma 5

Por tres puntos distintos (no colineales) pasa uno y solo un plano.

Axioma 6

Si dos puntos están en un plano,  entonces la recta que los contiene está contenida en el plano.

Axioma 7

Si dos planos distintos se intersectan, entonces su intersección es una linea recta.

Plantilla Actividad Animaplanos

Aquí pueden encontrar el archivo para descargar.

4.10 Problema 9 - Taller Ley del Seno y Coseno

Problema 9:
 Halle la distancia entre las dos viviendas

Ver construcción en Cabri Geometry aquí (Problema 3.fig)
Ver construcción en Excel aquí 

4.9 Problema 8- Taller Ley del Seno y Coseno

Problema 8

La sombra que da un árbol es de 16.75 m; si sabemos que el ángulo de elevación del sol mide
38° y el árbol tiene una inclinación vertical de 10º, la longitud del árbol es:

Ver construcción en Cabri Geometry aquí (Problema 3.fig)
Ver construcción en Excel aquí 

4.8 Problema 7 - Taller Ley del Seno y Coseno

Problema 7:
Determinar la medida de los lados y ángulos de la figura que faltan.

Ver construcción en Cabri Geometry aquí (Problema 3.fig)
Ver construcción en Excel aquí 

4.7 Problema 6 - Taller Ley del Seno y Coseno

Problema 6:

Sobre la pared vertical de una montaña se halla un nido de aves, un observador determina que el
ángulo de elevación es de 36º, camina acercándose a la base de la montaña recorriendo 250 metros y
el nuevo ángulo de observación es de 68º.  Determinar la distancia que le falta recorrer al observador
para llegar ala base de la montaña y la altura del nido desde el suelo.

Ver construcción en Cabri Geometry aquí (Problema 3.fig)
Ver construcción en Excel aquí 

4.6 Problema 5 - Taller Ley del Seno y Coseno

Problema 5:

Un avión de reconocimiento que vuela a 240 metros de altura encuentra una isla frente a él.  Determinar la longitud de la isla.

Ver construcción en Cabri Geometry aquí (Problema 3.fig)
Ver construcción en Excel aquí 

4.5 Problema 4- Taller Ley del Seno y Ley del Coseno

Problema 4:

Para ir de una estación A hasta una estación B, se deben recorrer 1560 metros con rumbo 46º Sur -
Oeste, el guía del grupo tomo mal el dato y entendió que el rumbo es 36º Sur – Este. Si después de
haber recorrido 1200 metros (Punto C), un miembro del grupo se da cuenta del error. ¿Qué distancia
deben recorrer para llegar a B?, ¿Cuál debe ser el rumbo que deben tomar?

Ver construcción en Cabri Geometry aquí (Problema 3.fig)
Ver construcción en Excel aquí 

4.4 Problema 3- Taller Ley del Seno y Coseno

Problema 3:
Se han tomado las siguientes medidas de las vías de acceso a una playa

Halle la longitud del lado EB.
        La longitud del lado AB.

Ver construcción en Cabri Geometry aquí (Problema 3.fig)
Ver construcción en Excel aquí 

4.3 Problema 2- Taller Ley del Seno y Coseno

Problema 2:

Con los datos del ejercicio anterior.   Si el primer barco sufre una avería en sus motores  cuando
llevaba  6 horas de recorrido.  El  rumbo que debe tomar el segundo barco para lograr ayudar al
primer barco es:

Ver construcción en Cabri Geometry aquí (Problema 2.fig)
Ver construcción en Excel aquí 

4.2 Problema 1 -Taller Ley del Seno y Coseno

Problema 1:

Un barco sale de puerto con rumbo N 38º O con velocidad de 25 km/h, un segundo barco parte en el
mismo instante con rumbo N 63º E con velocidad de 32 km/h. Determine la distancia que los separa
al cabo de 4 horas.

Ver construcción en Cabri Geometry aquí (Problema 1.fig)
Ver construcción en Excel aquí